у нас тоже есть транспортное средство - самокат. Оно еще более верткое, чем велосипед. И управляется хуже.
учила сначала дома, спокойному отношению к транспортному средству, потом - в тихом месте просто бежать рядом и ни в коем случае не опережать и не пересекать по ходу движения.
для велосипедов есть спец. штука, которая позволяет собаке бежать рядом и не попасть под колеса (крепится к раме, с аммортизатором)
также есть корзинки, сумки, рюкзаки. Предложений довольно много.
Чтобы не было опасности, что собака соскочит, то собаку надо учить сидеть в корзинке. ДЛя страховки существуют страховочные ремни (чтобы не выскочила).
ну, а чтобы не упасть, это вам надо хорошо ездить и быть очень внимательными.
с любым транспортным средством есть риск травматизма и любое изменение требует приучения собаки.