Нужно ли с этим как-то бороться? Если да, то как? Или это все из-за того, что он еще маленький, хочет быть рядом и позже это поведение пройдет?
собаки по своей сути такие - они хотят быть рядом с человеком. Это так и должно быть. А уж тем более маленький щенок, который только-только начал привыкать к новому дому.
Бороться не надо, надо создавать условия для комфортного совместного проживания.
Например, пришли домой, со щенком поздоровались, высадили его для пописать на газетку, (убрали за ним), поиграли. Потом дали ему игрушку, а сами занялись своими делами (краем глаза наблюдая за щенком).
игрушки хорошо бы менять. Это не значит, что надо постоянно покупать новые игрушки. Просто одну убрать, другую (которую раньше убирали) достать. Все игрушки давать сразу необязательно, меняя их, вы будете щенка удивлять "новыми" игрушками.
когда собираетесь куда-то уходить, распланируйте время, чтобы успеть поиграть со щенком и он имел бы время успокоиться после игры. Уставшего щенка можно посадить в загончик и спокойно уйти. В таком случае щенок будет в загончике спать.
Скоро щенок будет сопротивляться тому, чтобы писать/какать в загончике. Потому что в местах, где спят, нормальные собаки не писают/не какают. Поэтому использовать загон для того, чтобы пописал-покакал - не очень разумно.
лучше положить газетки (или пеленки, на что он приучен писать) подальше от места, где щенок спит и где ест. Показать это место щенку и хвалить, когда он пописает именно там. Если пропахнется - ничего. Просто убрать и все.
Взрослея, щенок будет писать/какать все реже и реже.
Плюс, после 2 прививки и карантина после нее, вы уже будете выводить щенка на улицу, приучая к уличному туалету. Соответственно, первое, что вы будете делать, это доставать щенка из загона и бежать с ним на улицу. Поэтому оставляйте газетки в загоне, чтобы они впитывали случайные лужи, но не делайте из загона туалет. Лучше высаживать его из загончика в общее помещение, чтобы щенок бегал, играл, учился тому, что можно, а что нельзя в вашем доме. Заодно щенок будет учится писать подальше от логова (места, где спит и ест), следовательно, будет учится контролировать свои нужны и искать разрешенное место для туалета.
и играйте со щенком. чтобы щенок был веселым, уставшим и довольным.